直观的几何数学学习；几何概念的创造性思维能力

李树臣（山东省沂南县教育局）摘要：几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是影响学生数学能力发展的重要因素之一。几何直观在本质

关键词：几何直觉；数学学习；几何概念；创造性思维能力

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准（2011年版）》）提出了十大核心概念，其中之一就是几何直觉。广大教师已经认识到几何直觉是影响中小学生数学发展的重要因素之一。学生的几何直觉能力已成为其数学素养的一个重要方面。数学教学必须注重培养和发展学生的几何直觉能力。笔者在简要描述几何直观意义的基础上，重点阐述了其在教学中的作用。

1.正确理解几何直觉的含义

要有效培养学生的几何直觉能力，首先需要对几何直觉有一个比较深刻、全面的认识。对于几何直觉的意义众说纷坛，呈现出百花齐放的局面。

克莱因指出，决定一个概念的正确性和可接受性的是直觉，而不是经验和逻辑。数学的直觉是对概念和证明的直接把握。数学不依赖于逻辑，而是依赖于正确的直觉。西方哲学家通常认为，直觉是不经过充分的逻辑推理，直接洞察事物本质，直接把握对象的全貌，认识本质。心理学家认为，直觉是从具体的感觉对象背后发现抽象的、理想的对象的能力。荷兰数学教育家弗雷登塔尔也指出，几何直觉可以告诉我们什么可能是重要的、有意义的和容易理解的，并让我们免于在主题、概念和方法的沙漠中陷入错误的道路。有学者认为，直觉是借助经验、观察、检验或类比对事物之间关系的直接感知和理解，而几何直觉是借助事物的形象关系对事物之间关系的直接感知和理解。看到或想到的几何图形。对关系的直接感知。

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》认为几何直觉有两点：一是几何学，这里的几何学是指图形；二是几何学。另一个是直觉，这里的直觉不仅指直接看到的东西（直接看到的东西是一个层次），更重要的是根据现在看到的东西和以前看到的东西去思考和想象。

基于以上观点，几何直观就是依靠和利用图形来进行数学思维和想象。它本质上是一种通过图形发展的想象力。

2.几何直觉的教育教学价值

希尔伯特曾在他的书中写道，图形可以帮助我们发现和描述研究问题；他们可以帮助我们找到解决问题的想法；它们可以帮助我们理解并记住所获得的结果。这就是几何直觉给我们带来的好处。《标准（2011年版）》指出几何直觉主要是指利用图形来描述和分析问题。借助几何直觉，可以将复杂的数学问题变得简洁生动，有助于探索解决问题的思路并预测结果。几何直觉可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。这实际上是对几何直觉作用的解释性和总体性解释。

1.利用几何直觉介绍一些基本的几何概念

在学习点、线、面、体等最基本的几何概念时，可以引导学生观察一些给定的照片、物体、图形等，并在观察的基础上，通过比较，找出事物的不同特征，并总结该概念的基本特征。

实施例1 全等形状的引入过程。

为了引入全等形状的概念，可以提出以下问题来引导学生观察和思考：

(1)分别观察图1中的三组图片。你发现了什么？如果每组两张图片以适当的方式叠加，它们会完全重叠吗？

（2）观察图2，你发现图中两个图形的形状和大小之间有什么关系？

【设计意图】问题（1）的目的是让学生感受到每组图片中的两个图形可以叠加并且会发现它们可以重叠，初步形成对全等图形的感性认识。借助解决问题（1）的经验，学生们发现，如果以适当的方式叠加，图2中的两个几何图形可以完全重叠。由此我们可以知道它们具有相同的形状和大小。在此基础上，可以给出全等形状的概念。

2.利用几何直觉发现相关结论

美国数学家阿蒂亚指出，在几何中，视觉思维占主导地位，而在代数中，有序思维占主导地位。所以几何首先用的是最直接的形象思维，用形象思维来获得洞察力。在数学教学中，数学中的许多结论可以借助几何直觉来发现，从而有效地学习数学知识。

例2 平方差公式的发现过程。

为了让学生借助几何直觉自己发现平方差公式，可以设置以下问题，引导学生观察、交流，从而发现结论。

（1）时代中学计划将一个边长一米的正方形花坛改造成一个长（a+2）米、宽（a-2）米的长方形花坛。你能计算一下装修后花坛的面积吗？如果改造成长(a+1)米、宽(a-1)米的长方形花坛呢？

（2）如图3所示，从长a+b、宽a-b的矩形中剪出长a-b、宽b的小矩形（a>b>0），然后将矩形拼接成这样对于图4所示的图形，分别计算它们的面积。从中你发现了什么？互相分享你的意见。

3、几何直觉有利于培养学生的探究意识

学生学习的过程本质上与科学家的研究过程是一样的。数学教学应结合具体的学习内容，精心设计有效的探究活动，让学生在探究过程中运用几何的直觉发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。

例3 探索发现“同一位置的角度相等且两条直线平行”的过程。

“等角且两条直线平行”是平行线的三种判断方法之一。这种确定方法可以引导学生通过探索自主发现。指导过程分为以下四个环节。

直观的几何数学学习；几何概念的创造性思维能力

（1）教师用三根硬木条制作“三线八边形”活动教具，将木条a、c固定，让木条b绕A点旋转，如图5所示。

师：当b旋转时，1的大小会变化吗？

学生：有变化。

师：当b移动到什么位置时，有ba？

学生：当b转到图5所示的虚线位置时，就有ba。

(3)引导学生进行探究活动，发现规律。

师：通过前面的讨论，你发现了什么？

学生：判断两条直线平行的问题可以转化为判断两个角相等的问题。

师：你能用自己的话描述一下你发现的规律吗？

学生：两条直线被第三条直线截断。如果角度相等，则两条直线平行。简单来说：平行角相等，两条直线平行。

（4）指导学生分别用图形语言、文字语言和符号语言表达平行线的确定方法。然后通过适当的练习，学生就可以完成这种判断方法的学习。

通过让学生通过探究的过程，不仅可以获取知识、发展技能、培养能力，逐步形成创新意识，还可以接受科学价值观、科学方法等方面的教育，培养学生的科学素养。他们自己的个性。充分体现了《标准（2011年版）》提出的人人都能获得良好的数学教育、不同的人在数学上得到不同的发展的基本理念。

4、运用几何直觉可以加深学生对数学知识的认识和理解。

学生对几何形状的学习不应仅仅停留在直观感知的初级阶段，而应充分发挥表象的桥梁作用，使具体的感性知识逐步过渡到抽象的理性知识。学生表述的结果往往与教师呈现图形的方式密切相关。如果教师只呈现标准图形，学生很可能会将图形的本质特征与其个体属性联系起来，从而导致扩大或缩小概念外延或内涵的错误。在教授一些几何概念时，为了使学生巩固和加深对概念的理解，更好地掌握概念的内涵和外延，需要使用标准图形，并在概念的外延之内或之外列举一些例子。让学生根据定义去识别、识别和交流。通过这样的活动，可以达到加深对所学概念的理解和掌握的目的。

示例4 识别哪些是同伦角。

同心角由两条相交的直线与第三条直线相交形成。为了让学生在教学中掌握其本质，我们可以给出如图7所示的四个图示，让学生辨别哪些角是同心角。哪些角不是同质角。

例6 几点出发？

一个旅游团从A地前往B地。A地和B地相距100公里。团里有的人先坐车去，其余的人步行。先乘车的人在途中某个地方下车步行，汽车返回接第一个人。对于步行的人来说，已知步行速度为每小时8公里，汽车速度为每小时40公里。为了让大家在下午4:00同时到达B点，他们必须在什么时间出发？

这道题的本质是，如果按照题中设定的步行方法，至少需要几个小时。

分析：假设先乘坐公交车的部分人的下车地点距目的地A为x公里，这批人的下车地点距其他人的上车地点为y公里，如图如图10 所示。

参考：

[1] 中华人民共和国教育部制定。义务教育数学课程标准(2011年版)[M]北京：北京师范大学出版社，2012。

[2] 秦德胜，孔凡哲关于几何直观的思考[J]中学数学教学参考，2005（10）：9-11。

[3] 刘晓梅. “几何直觉”的理解分析及其培养[J].中国数学教育（初中版），2012（1/2）:23-25。

[4] 孔凡哲，施宁忠关于几何直觉的意义与表达：对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教学法，2012（7）：92-97。

[5] 李玲玲.论“图形直觉”的表达形式与教学策略[J].教学与管理，2013（8）:43-45。