降阶模型是从更复杂的物理模型推导出的一种计算量减少的模型，其目的是减少模拟模型所需的时间。这通常是通过在一组参数下多次解决给定的问题，然后从中导出一个更简单的模型来完成的。
ROM可用于不同的目的：
如果最终需要实时计算，它们会很有用。例如，在构建数字双胞胎时，人们需要实时模拟设备的功能。这是普通模拟技术做不到的，这种情况下需要建ROM。当构建一个非常大的系统级仿真时，对每个部分进行仿真并构建ROM，然后将它们组装在一起会很有用。这将大大减少整个系统模型的模拟时间和内存使用。优化零件的设计通常需要大量的模拟来微调所有参数。这样做时，可能需要使用第一次模拟的结果来加速未来的模拟。正如您已经可以想象的那样，由于该技术涉及到执行许多训练模拟，因此在这种情况下，云上的分布式计算非常重要。
在本文中，我们将了解主要的缩减技术是如何工作的。然后我们将展示该技术的具体应用以及基于Python的PyMOR库和FeniCS的实现，并在Qarnot平台上完成计算。
我们将首先介绍主要的归约技术。这将需要解释物理方程通常是如何用数值技术求解的。如果你不熟悉数学，请不要担心。这里不赘述，只介绍使用思路。
1.偏微分方程
首先，让我们定义要解决的问题的类型。物理现象，如通过金属部件的热传播、平面周围的气流或电磁波传播，都可以用数学方程来描述。这些陈述了物理量的时间和空间变化之间的关系。比如热方程，根据它在某个时间点的空间分布，告诉我们温度是如何随时间变化的。在三维空间中，热方程可以写成：
2.离散化关于这些偏微分方程，需要记住两件事：
它们是关于函数的方程。未知数是将范围内的每个点与范围内的每个时间相关联的函数。例如，如果我们想看热量的传播，我们会寻找温度函数T(t，x，y，z)。所以这些问题涉及的数据量是无限的。相反，我们研究的不是只描述宏观量的模型，比如全机的速度。这种无限性使得方程求解相当困难。这些方程把温度随时间的变化与空间的变化联系起来。这就是它们成为偏微分方程的原因。要理解这些偏导数之间的联系为什么会出现，我们以温度为例。温度随时间的变化(例如其时间导数t/t)取决于热流。然而，热量从高温点流向低温点。所以热流的表达涉及到空间温度的变化(t/x，t/y，t/z)。方程的不同偏导数联系在一起的事实使它变得更加困难。这种偏导数方程的解通常是无法用数学方法求出的。事实上，一些常见的偏微分方程非常难，数学家很难证明任何关于它们的东西。纳维尔-斯托克斯方程(描述流体流动)就是这种情况。一直没证明总有顺利解决的办法(这个问题居然有100万奖金)。
因此，工程师和科学家通过数值方法寻求近似解。在这些问题中，一些参数可能起作用，并且是可以改变的。例如，如果我们决定用另一种材料代替一种材料，或者我们研究不同可能性的用途，它们可能是材料的物理特性。参数也可以是环境温度或飞机速度等。由于这些原因，我们可能有相同的几何和相同的模型，但每次我们想研究一个新的集合会发生什么，我们都需要计算解的参数。
为了数值求解该方程，第一步总是从给定的无限方程导出有限模型。事实上，正如我们所看到的，我们试图解决的模型包含了无限多的未知数，因为我们必须找到每个点和时间的值。这是计算机做不到的，因为它只有有限的内存和计算能力。因此，我们需要限制这个问题。可以使用几种技术来执行这个离散化过程，但是它们通常共享相同的两个步骤：网格划分和方程离散化。下面解释了这两个步骤。
3.网格化的思路是，由于我们无法计算每个点和时间的价值，所以我们只会计算一些点和时间的价值。然后，当我们需要知道给定点的值时，我们会用计算值的邻点来推断。比如可以用线性插值的方法计算(比如取相邻点的平衡平均值)。
一个基本的例子如下。考虑一根长度为10的加热金属薄带。那么，这一块只有一维，我们可以把长度分成几段(假设5)。如果我们知道每个极值点的温度，我们可以创建一个接近真实解的线性曲线。
这个过程的中心思想是，现在，我们正在寻找的解决方案完全由有限的信息量来描述。在这里，它是0，2，4，6，8和10处的值。因此，我们可以说，我们正在寻找解决方案的空间现在有一个有限的维度(这里是6)，或者解决方案有一个有限的自由度(DOF)。
在更高维度中，将空间离散化通常需要构建一个网格，将对象划分为小三角形或四面体。在这些基元中的每一个上，最终函数都是线性的。这就是3D块的网格化。
另一方面，通过将总时间窗口切割成小的时间步长，时间很容易被离散化。
为了理解降阶技术，需要注意的是，这类似于说函数是一些点的值的插值，并且它是一些简单函数的线性组合。如果我们回头看前面的例子，我们可以看到完整的解决方案是由点表示的六个函数的总和：
这些基本函数中的每一个都是更“原始”的函数的缩放版本，其值在一点是1，在另一点是0(这里的值是10，所以我们可以更好地看到它)。
在数学语言中，这六个基本函数被称为我们的解空间的基础。这意味着我们在寻找一个可以表示为这些函数的线性组合的解(例如，这些函数的加权和)。
4.方程的推导既然我们的问题被限制在有限的自由度内，我们必须使方程适应那种解。数学上有一个原理，方程的个数必须和自由度一样多，才能让一个系统有唯一的解。
有不同的技术可以用来做到这一点。最简单的方法是在每个点重写方程，用(t (x x)-t (x))/ x来近似空间导数，比如用与邻点的差值。这就是所谓的有限差分法，虽然是最简单的一种，但是很少用到。最常用的方法是有限元法和有限体积法(主要用于流体动力学)。
下面是对有限元方法的简要描述。如果你对细节不感兴趣，或者你已经知道了，可以跳到下一节解释模型简化的核心思想。
5.有限元方法为了理解有限元方法背后的思想，我们可以回到金属杆的热方程和更自然的有限差分技术。在这种技术中，我们通过一个点与其邻居的差来近似该点的导数：t/x=(t (x x)-t (x))/ x，其中 x是与下一个点的距离。问题是，正如我们看到的，我们将差值除以 x得到一个斜率。如果想要精确计算的细网格，那么 x会很小。因为我们除以非常小的数，T/X可能变得非常大，对数值误差非常敏感。在热方程中，情况更糟，因为我们考虑了对 x的二阶导数。
因此，有限差分法是相当不稳定的。它的另一个缺点是关于这项技术的定理不多。比如我们在使用这项技术时所犯的错误，几乎没有任何结果。
为了解决有限差分的不稳定问题，有限元法的思想是利用导数和积分的逆运算。由于积分像平均值一样运行，因此它使模型更加稳定似乎是合乎逻辑的。然而，在整个域上集成会导致信息的丢失。其实并不是因为两个函数的平均值相同才相等。为了解决这个问题，保持函数方程的丰富性，我们把两边都乘以一个函数，这个函数叫做测试函数(大多数情况下写成V)。可以看作是一个窗口函数，只保留了一些未知的函数。这一次，如果两个方程在每个窗口上有相同的平均值，那么我们可以期望它们相等。其实在正确的假设下，我们两个公式是等价的。
右边的方程叫弱形式方程，用于有限元法。修改表达式后，FEM的核心思想不仅是在有限维N的空间Vh中求解，而且是在同一个空间中用函数V检验。由于Vh是有限维的，方程在V中是线性的，所以验证Vh所有V的方程就相当于验证它的基(v1，…，vn)的所有元素。这自然就产生了一组n个方程。通过考虑N个系数1，…，n使得t= IVI，我们得到具有N个未知数的N个方程组。这个系统是可以系统解决的。
作为结论，有限元法就是把方程改写成另一种形式，也就是弱形式，其中涉及到一个测试函数。离散化是通过使用与解空间具有相同自由度的测试函数来完成的。出于数学原因，碰巧因为我们使用了一个弱公式，所以我们有了更多的数学结果，并且对这个技巧有了更好的理解。例如，Ca引理给出了我们在使用这种离散化技术时所犯错误的上限。更准确地说，它给出了实际解与我们的解空间中该解的最佳近似之间的距离的上限。
6.模型降阶模型降阶的核心思想是在特定的基础上寻找解。它只包含几个元素，但是我们知道这足以描述这些解。当我们不知道解决方案会是什么样子时，网格划分部分中说明的基本类型是非常相关的。事实上，它提供了很大的灵活性，我们确信我们将能够很好地描述领域上的任何功能。然而，这也很简单：
首先，我们可以预期解的自由度在某种程度上等价于参数的个数。一个网格可以包含数百万个点，但我们通常只考虑几个参数。其次，这个基的元素计算简单方便，但是一点都不物理。事实上，在这些元素中，一个点的值与相邻点无关，但实际上，相邻点的值之间有很强的联系。例如，同样的事情也发生在数字图像上。描述一幅图像最基本的方法是说出每个像素的颜色。这是一个方便简单的描述，但它没有利用像素的颜色通常与周围颜色接近的事实。从这个评价中，人们有了用其他基表示图像(使用傅立叶分解)来压缩图像大小的想法。这是文件格式的核心，如图像压缩和。jpeg。所以我们的思路是用全阶模型模拟一些解，然后从中导出一个更小的基，它将能够表达接近全阶的解。然后，我们只需要在这个新的解空间中推导出方程。由于此空间中的自由度数量有限，导出的模型将只包含相同数量的方程。所以几乎可以马上解决。另外，由于解空间的构造是为了描述接近真实解的解，所以我们知道由我们的降阶模型导出的解会接近全阶解。
没有太多关于模型降阶的基础知识。现在，我们可以探索一些建立缩减基数的方法。最基本的构建方式就是简单的做一些模拟，直接用解来做基(我们只会正交归一化基)。但是，可以做得更好。这里是一些可以使用的算法的快速描述。
7.建立约简基适当的正交分解的一些算法
这种技术接近于一种叫做PCA(主成分分析)的技术，这种技术在数据科学中非常常见。其思想是尽可能提取描述某些向量的低维基。所以在使用POD的时候，流水线先进行一些模拟(比如说100次)，然后提取一个更小的基(比如说20次)来尽可能的描述得到的结果。
强贪心算法
在这个算法中，思想是一步一步地建立基础。从一组结果开始，我们将选择一个作为归约基的第一个向量。创建一个与基相关的降阶模型，就可以从一组参数计算出所有其他值的解。然后将全序和降序差最大的解加到基上。这样做，我们减少了描述最差解决方案的错误。然后一遍又一遍的重复这个操作，直到我们达到需要的向量个数。
弱贪心算法
以上两种算法需要为训练集的每个参数计算解。在弱贪婪算法中，我们会沿用强贪婪算法的方法，但不需要计算所有的精确解，因为误差不是计算出来的，只是从rom中估计出来的。
想了解更多关于这些算法的知识，建议看一下这个教程，里面对这些算法的工作原理和优缺点有更深入的了解。
原文链接：http://www.bimant.com/blog/reduced-order-model-intro/
仿真模型的含义
(纯粹是虚荣心让我发了这个图文。
[包裹抵达时唤起的记忆]
其实孟川君本来没打算参加这个比赛到微信官方账号，因为比赛是12月中旬结束的，颁奖也是11月份结束的，所以该结束的时候就结束了，他也没得什么好成绩，也就没必要谈了。毕竟孟川君觉得自己只是个航模小学生，水平还远远落后于国内各路高手。基德大师、熏大师这样的奖牌割草者，别说天天拿奖，更别说人家还拿各种高水平赛事的金奖。在竞技水平极高的情况下，都可以收集奖牌。所以作为一个水平还远远落后的舰盟君，第一眼最好不要喊。守口如瓶永远和我一样。
之所以今天突然要说这种比赛，一方面是因为很多高水平的制作高手并不知道这种比赛的存在，或者是高手们并不太重视这种比赛，导致很多和川孟军水平相当的选手能够力挽狂澜。当然，从满足虚荣心的角度来说，如果高手们不跟我们比，我们可以拿到稍微好一点的排名。但从模特体育比赛的长远发展来看，整体竞技水平向高水平发展比较好，一群初中选手不可能一直狂欢下去。
导致航运联盟君发这个图文的另一个原因是，昨天我得到了一个送货服务。由于最近没怎么网购，更别说送货服务了。被无良商家欺骗的猜想立刻跳入了传梦君的脑海。
传梦君接到消息后，也在群里和模特朋友聊天。大家的意见倾向于先不拿，问清楚自己的想法。当然，川孟军也是这么想的，还是让他静静地躺着，直到被快递送回交货地？万一是假货，不可能把快递自带的快递费说出来骗你。毕竟川梦君现在在三亚出差，这个快递是寄到他广州的家里的，不能当面看到详细信息。
但是孟川君转念一想，如果有更好的模特朋友或者大腿送我一些新款或者零食呢？不拿，会怀念吗？在各种纠结中，传梦君最终决定让家人带。如果是骗子快递，我以后再去投诉快递公司也不迟；当然，如果不是骗子快递，里面的东西有用，那付费也没问题。
今天下午家人回复说快件是顺丰快递的一个信封，不知道里面是什么。突然想起之前参加过2021年国家仿真模型(静态)项目网络系列赛，进入决赛。根据比赛的安排，两个阶段的比赛获胜者将发送电子证书，而总决赛的获胜者将获得盖章的纸质证书。是这个吗？转念一想，嗯，肯定是这个，因为早在11月初，传梦君就跟主办方说需要邮寄一纸证明到家里。过了一个半月，证书邮寄过来了，我却忘了这件事。
果然，让家人打开后，有三张纸证，上面有红色的印章。国家体育总局的红章真的让我开心了一阵子。毕竟这个称号比省市赛高多了。
【谈谈为什么模型制作是一项体育赛事】
之前看到广州市青少年宫把模联工程归咎于科技活动。其实宏观上没有问题，但严格来说，模特大赛应该属于体育赛事。按照模特运动的主管单位国家体育总局的管辖划分，模特运动的归属应该如下图所示：
【国家体育总局-无线电模型运动管理中心-中国航海模型运动协会】
当然，总局下属的无线电模联还有四大类协会，分别是：
中国航海模型运动协会
中国汽车模型运动协会
中国无线电与定向运动协会
这四种协会基本都是负责海陆空的模型运动。体育总局每年都要订购和要求各种陆、海、空项目。
那么，既然模特运动是一项运动，那么它的参赛选手到底是不是运动员呢？在比赛中获奖能得到什么？
其实在回答这些问题之前，传梦君想给大家看一些图片(出于隐私考虑，传梦君模糊了一些信息)，而且大部分都是省/市队。
【全运会体育赛事-航海模型-生态团队总决赛】
[上海航海模型运动队蔻驰，国际级运动员，全国优秀蔻驰体育奖章获得者，前海默F5项目世界冠军]
【上海航海模型运动队成员，国际级运动员，优秀运动员荣誉奖章获得者，上海模型公开赛发起人兼主裁判，F4项目世界冠军，船模界知名鸟山大师】
【广东航海模型运动队高级教练，体育荣誉奖章获得者，部分世界冠军运动员随训】
通过以上数字的展示，可以很好地回答信仰前提的问题：
省/市航海模型运动队队员均为职业运动员，与其他运动项目待遇和称谓相同。
同样，各类动静态航海模型赛事包括各类体育比赛，如全运会、全国锦标赛、世界锦标赛等。
航海模型运动和其他运动一样，可以分为细项和分类项，专项运动非常明确和详细。
所以，当社会再次向模型制作者或者爱好者抛出鄙视和鄙视的时候，请把这篇文章扔给他，让他们认识到自己的认知局限。体育不是玩物，上图所示的运动员作为模特界的天花板也不是普通人能比的。他们应该得到像丹琳和姚明这样的运动员一样的尊重。同样，我们喜欢的样板工程也应该受到社会的尊重。
【那么这个全国静态项目线上赛是什么样的呢？】
根据体育总局5月份的文件，6-10月将举办“全国模拟模型(静态)项目网络系列赛”，推动相关模型运动的普及和推广。这是一个面向全国车迷的综合性模特大赛，由主管单位领导和监督。
根据赛程安排，本次比赛分为预选赛和决赛。预选赛分为两个阶段，第一阶段在6月，第二阶段在7月，每个阶段持续一个月。预选赛两个阶段的前六名将获得10月份的决赛资格，所以预选赛也可以算是资格赛。
同样的，作为静态的模特比赛，细分品类也挺多的，不可能大打出手。因此，根据文件，可以大致分为以下几个分项：
所有参赛选手可根据自己在制作模型方面的倾向和技术重点选择子项目报名参赛。当然，如果你是跨项目的综合神，也可以申请海陆空项目。作为一个在静态航模范畴里游走的小杂鱼，川君自然倾向于报名船模项目，因为坦克和飞机我也不会做，哈哈哈哈。
孟川君第一阶段报名了四个项目，分别是：
项目C3E(结构、场景船模)
C6项目(塑料商船模型)
项目C8(非塑料商业船模)
R2-S项目(袖珍船模)
因为报名选手不多，竞争也不算太激烈，所以在这四项赛事的第一阶段，川萌君获得了8强的名额。根据规则，预选赛第一、第二阶段的前八名选手和项目可以进入决赛。这里当然也有电子证书在手。
[第一阶段授予的电子证书]
[第一阶段授予的电子证书]
[第一阶段授予的电子证书]
[第一阶段授予的电子证书]
可能有朋友会问，为什么上面的获奖证书有的拿到第8名或者一等奖，有的拿到第7名才拿到二等奖？因为按照评审办法，奖的等级和排名是不挂钩的，也就是说等级是根据制作水平来定的，而排名是根据你在组里的实际排名来定的。比如这个群体的竞技水平普遍很高。按照制作水平评分标准，如果所有人都在90分以上，那么全部都是一等奖，但是有的人98分，有的人95分，有的人刚好90分，那么98分就是一等奖，90分的就是三等奖。诸如此类。
本裁判组成的评定方法为：
其实孟川君很清楚自己的水平在全国应该是中下等，所以第一阶段其实已经做好了一轮巡演的准备。看完总决赛，可以拍拍屁股回家了。毕竟在第一阶段，所有的名次都是擦着及格的边缘获得的最终资格。即使你在决赛中换船，也仅限于船盟的平均水平。不管哪艘船去决赛，结果应该差不多。
而且如果是基于比赛严格的评分标准，传梦君的压力会非常大。从制作均匀度、翻新规模、历史考证资料来看，传梦军的水准并不占优。(评分标准和要求如下)
不过可能是因为C8组参赛选手少，因为C8是非塑模组。相对于塑料模型组，非塑料组一般是树脂套材料，比塑料套材料的处理和制作难度稍大。没那么容易做好，入门门槛相对提高，所以选手数量比塑模项目少很多。川军相当于错过了这个项目的人数，在没有这么强竞争的C8项目决赛中获得了一个第二名(一等奖90分)。
剩下进入决赛的项目，不出所料，川萌君只能跟在别人后面捡鞋。在C6(塑料船模组)，虽然获得了90分的一等奖，但在总排名中仍然排在第六位；在传统的神仙打架组R2-S(口袋船模组)中，川孟军只获得了84.33分的二等奖，仍然是几乎擦着淘汰边缘的第六名。
反正最后拿到了体育总局盖章的证书，让我大开眼界。希望明年再接再厉，在各种比赛中多拿一些奖，无论是证书还是奖牌，因为参加比赛真的很上瘾。