今年是美国计算数学家David M. Young Jr 诞辰100 周年，他在博士论文中提出的“逐次超松弛迭代法”在计算机求解大规模线性方程方面发挥了重要作用，成为数学史上的杰出著作。
撰写者|丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
光看标题，读者可能会认为杨大卫是一位中国学者。事实上，他是一个纯正的美国人，他的全名是David M. Young Jr.（1923年10月20日-2008年12月21日）。他在国际数学界的知名度不如德国“大卫”—— David Hilbert（1862-1943）。我什至找不到他全名的标准中文翻译；此外，他的姓氏在西方人中很少见，只有一个元音。我趁势给他起了一个响亮的中文名字：“杨大卫”。
David Yang目前是计算数学领域的知名人物。他一生致力于求解线性方程的迭代方法。他最伟大的成就是发明了SOR方法，这是成功的过松弛迭代方法。更了不起的是，这项与时俱进的发明诞生于他1950年完成的博士论文。据著名抽象代数专家、教学名师丁石孙院长（1927-2019）介绍，“90%以上数学博士论文对这个学科没有影响。”然而，David Yang的博士论文影响了整个线性迭代方法。 1984年，我读到丁校长在南京大学的采访记录，感觉他希望研究生多读书，拓宽知识面，不要局限于一篇论文。
David Yang 于1944 年在纽约州韦伯造船学院获得学士学位，并在海军工作直至第二次世界大战结束。随后进入哈佛大学数学系研究生院，分别于1947年和1950年获得硕士和博士学位。他的博士论文导师是Garrett Birkhoff (1911-1996)。加勒特和他的父亲乔治（George David Birkhoff，1884-1944）是罕见的数学家父子，两人都是哈佛大学的教授。他的父亲在动力系统和遍历理论领域做出了开创性的贡献，而他的儿子的成就主要集中在格子理论（lattice Theory）方面。
格论是抽象代数的一个分支，始于布尔代数。研究对象是有序集。从伯克霍夫师从的哈佛大学数学系毕业后，他先到剑桥大学学习数学。数学物理学，然后转向抽象代数。在欧洲留学的这一年里，他从几位著名数学家那里受益匪浅。 1933年后，他留在哈佛大学。在此期间发表的一系列论文构成了他于1940年出版的经典著作《格论》，该书的第三版至今仍在印刷。二战期间，他的兴趣转向应用数学，特别是流体力学，他的研究成果被收录在他于1950年出版的专着《流体动力学》中。由于与冯·诺依曼是好朋友，他对计算的兴趣与日俱增。在他三十五岁之后。
这就是1948年杨大卫在Birkhoff教授门下攻读博士时的背景。导师给弟子布置了一个课题：研究泊松偏微分方程的数值解。正是这篇博士论文的研究推动了SOR 方法的出现。在接下来的几年里，伯克霍夫在大卫·杨的研究工作的基础上，与1950年进入哈佛大学数学系研究生的理查德·史蒂文·瓦尔加（Richard Steven Varga，1928-2022）合作，研究微分方程和正算子的迭代。法律。 Varga 于1962 年出版的《流体动力学》 成为该领域的经典。
David Yang 在1990 年写的综述文章《迭代方法的历史回顾》（迭代方法的历史回顾）中回忆道，当他让Birkhoff 教授为他的博士论文选题时，他脑海中的第一个选择就是纯数学领域的李代数。数学。但教授建议他做计算数学的“松弛法”，并递给他几份文献，包括论文《拉普拉斯和泊松方程的数值解》（拉普拉斯和泊松方程的数值解）和英国数学家理查德·V·索斯韦尔爵士（Sir Richard V. Southwell，1888-1970），《理论物理中的松弛方法》（理论物理中的弛豫方法）。
所谓“松弛法”，广义上是指获得偏微分方程近似数值解的过程，但狭义上，仅指求解线性代数方程Ax=的迭代过程b.在这个过程中，“松弛”技术与方程组的残差r=b-Ax密切相关，目的是加快收敛速度。
伯克霍夫对杨大卫的博士论文研究给予了很大帮助。他不仅给予指导和鼓励，给出参考建议，还仔细阅读了论文草稿。据David Yang回忆，“连续超松弛法”的英文全称是Birkhoff建议的——。 “我相信这是一个不错的选择。”这样的良师益友，堪称良师益友。
杨大卫的博士论文研究起步并不顺利。就连来访的绍斯韦尔勋爵也留下了令人沮丧的评论：“任何机械化放松方法的尝试都是浪费时间。”但他没有被吓倒，继续工作。很快他有了一个很好的发现：对于一些线性方程，高斯-赛德尔迭代矩阵的特征值就是雅可比迭代矩阵特征值的平方。谢谢受到阅读相关文章的启发，David Yang做出了突破：对于他通过引入超松弛因子设计的SOR方法，如果方程组的系数矩阵A是一致有序的，那么它有一个关键迭代矩阵的特征值与雅可比法迭代矩阵的特征值之间的关系，他数值求解的椭圆偏微分方程在区域网格上从左到右向上按自然顺序编号，使用一个标准。五点差分格式，产生均匀有序的矩阵。
我在之前的文章《返朴》中介绍过雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。在此基础上，你可以进一步理解David Yang的SOR方法。设Ax=b为待解的线性方程组，其中n阶系数矩阵A为非奇异矩阵，b为给定的n维列向量，x为n维未知列向量。将A 写为其严格下三角部分L、对角线部分D 和严格上三角部分之和：A=L + D + U，则原方程可写为Lx=b (D + U)x。
令 为小于2 的正数，称为松弛因子。上式等价于Lx=[b (D + U)x]，两边加上Dx，得到(D + L)x=Dx + [b (D + U)x]。简化右端，我们有
(D + L)x=b [U +( – 1)D]x, (1)
这是SOR 方法的方程组形式。如果=1，则(1) 变为(D + L)x=b Ux，这就是高斯-塞德尔方程。
为什么要把可调参数塞进经典Gauss-Seidel方法的矩阵形式呢？这是为了提高收敛速度。 SOR方法的迭代格式如下：
1940年代末，当David Yang开始研究迭代方法时，一些人对在新型电子计算机上使用迭代方法解决大规模问题的想法表示怀疑。但自从他发表开创性的博士论文以来，迭代方法已广泛应用于科学和工程领域，并催生了许多新的变体。
在广阔的科学计算领域，杨大卫的成就将永远不会被忘记。今年12月21日是他逝世十五周年。我想在这篇短文中向他表示感谢，并简要介绍一下他在数学史上留名的博士论文——SOR方法的成果。
写于2023 年11 月23 日，星期四，感恩节
美国哈蒂斯堡避暑别墅
主办：中国科协科普部
出品单位：中国科学技术出版社有限公司、北京中科银河文化传媒有限公司
用户评论
╭摇划花蜜的午后
博士论文纪念杨大卫诞辰一百周年，真是件大事儿！我从小就喜欢数学，杨大卫先生的成就一直是我学习的榜样。
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心贝
这个纪念活动太有意义了，数学史上能有这样的浓墨重彩一笔，杨大卫先生的精神永远值得我们学习。
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笑叹★尘世美
我是一名数学教师，看到这篇纪念文章，心里五味杂陈。杨大卫先生对数学的贡献太大了，希望这篇论文能激励更多年轻人。
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发呆
博士论文纪念杨大卫先生，这个标题就让我感动。数学界能有这样的巨人，真是我们的荣幸。
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?亡梦爱人
杨大卫先生在数学史上的地位无可替代，这篇论文的出版无疑是对他最好的纪念。
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疲倦了
数学界失去了一个巨人，但他的精神永远活在我们的心中。这篇论文是对他最好的致敬。
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江山策
看到这个标题，我就想起了杨大卫先生。他的研究为数学界带来了太多创新，真是令人敬佩。
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半梦半醒i
纪念杨大卫诞辰一百周年，这篇论文真的很重要。希望更多的人能了解到他的贡献。
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半世晨晓。
杨大卫先生的论文真是经典中的经典，这篇纪念论文一定能引起更多数学爱好者的关注。
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忘故
数学史上的浓墨重彩一笔，杨大卫先生的贡献功不可没。这篇论文值得我们每个人去阅读和学习。
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小清晰的声音
作为杨大卫先生的粉丝，这篇论文的出版让我激动不已。他的研究成果将永远激励着我。
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淡写薰衣草的香
杨大卫先生在数学界的地位举足轻重，这篇论文的纪念意义不言而喻。
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搞搞嗎妹妹
数学界能有杨大卫先生这样的杰出人物，真是我们的幸运。这篇论文是对他最好的纪念。
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早不爱了
杨大卫先生的研究对现代数学发展产生了深远影响，这篇论文的出版意义重大。
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陌離
纪念杨大卫诞辰一百周年，这篇论文让我深刻体会到数学的魅力和杨大卫先生的伟大。
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有一种中毒叫上瘾成咆哮i
这篇论文是对杨大卫先生最好的纪念，也是对我们这些数学爱好者的激励。
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凝残月
数学史上能有杨大卫先生这样的人物，真是数学界的骄傲。这篇论文的出版让人感慨万分。
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冷眼旁观i
杨大卫先生的精神永远值得我们学习，这篇论文的纪念意义将激励一代又一代的数学人。
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封心锁爱
纪念杨大卫诞辰一百周年，这篇论文是对他最好的致敬，也是对我们这些后来者的鞭策。
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